Berührungspunkte von Kreis in Ecke berechnen

Es gibt 6 Antworten in diesem Thema. Der letzte Beitrag () ist von Niko Ortner.

    Berührungspunkte von Kreis in Ecke berechnen

    Ich versuche gerade herauszufinden, wie ich folgendes berechnen kann:

    Hier sieht man zwei Geraden, die auf einen Punkt zulaufen. Diese beiden Geraden stehen in einem gewissen Winkel ɑ (Alpha) zueinander.
    Zwischen diesen beiden Geraden gibt es einen Kreisbogen. Er berührt beide Geraden. Der Kreisbogen hat einen gewissen Radius r.
    Ich möchte jetzt die Entfernung s der Berührungspunkte vom Schnittpunkt der Geraden berechnen (beide sind logischerweise gleich weit entfernt).
    Ich habe schon festgestellt, dass s proportional zu r ist. Deshalb gehe ich nachfolgend von r = 1 aus. Muss nur noch multipliziert werden.
    Wenn ɑ 90° ist, dann entspricht s = r = 1.
    Je weiter ɑ gegen 0° geht, desto mehr geht s gegen +unendlich. Und je weiter ɑ gegen 180° geht, desto mehr geht s gegen 0.
    Ich habe mal ein paar Werte aufgeschrieben und in eine Excel-Tabelle gepackt.

    Die Kurve "Gemessen" stellt diese Werte dar. Die Kurve "Sin1" ist mein Versuch was mit Sinus zu machen: 1 / sin(ɑ / 2) - 1
    Das kommt relativ nahe dran, aber es stimmt nicht. Denn bei 90° muss 1 herauskommen.
    "Sin2" ist ein weiterer Versuch: (1 / sin(ɑ / 2) ^ 2 - 1
    Da stimmen zwar die Punkte 0°, 90° und 180°, aber es geht viel zu schnell gegen +unendlich. (10° und 20° sind abgeschnitten, weil besser leserlich.)

    Ich komme einfach nicht drauf, was das für eine Funktion ist.
    Google hab ich mit Stichworten wie Kreisbogen und Schenkellänge geplagt, aber ich bin mir nicht sicher, wie man diese Entfernung überhaupt nennt. Deshalb hab ich dazu nichts gefunden.
    "Luckily luh... luckily it wasn't poi-"
    -- Brady in Wonderland, 23. Februar 2015, 1:56
    Desktop Pinner | ApplicationSettings | OnUtils

    Ich habs jetzt nicht versucht, aber ich glaube du hast hier ein lineares Gleichungssystem vorliegen, da mir zumindest nicht einfällt, wie man dies mit einem Term darstellen sollte.
    Du hast zwei Dinge gegeben: 1. Die beiden Schenkel des Winkels sind Tangenten des Kreises und 2. wenn man vom gesuchten Punkt P1 und vom anderen Punkt P2 genau im 90°-Winkel um den Radius des Kreises nach innen schreitet, dann erhält man den selben Punkt (nämlich den Mittelpunkt des Kreises). Damit hast du zwei Variablen, die von dir gesuchte Länge (was äquvalent zu den Punkten ist, denn kennst du die Punkte kennst du auch den Abstand) und den Kreismittelpunkt. Du hast aber auch zwei Gleichungen, und somit solltest du alles auflösen können. Du musst hier allerdings mit Vektoren rechnen, also sind es eigentlich vier Gleichungen und Variablen (jeweils X- und Y-Koordinaten), es empfiehlt sich aber vermutlich die Termumstellungen erst mal mit den Vektoren zu machen.

    Wichtig: ich übernehme keine Garantie, dass das so stimmt, ich hab mir das nur eben überlegt.

    (Ich sende jetzt mal den Post ab, damit Artentus berscheid weiß und lese dann Post #3 durch.)

    @Artentus: Ich möchte nicht die Koordinaten der Punkte berechnen. Nur den Abstand des Schnittpunktes zum Berührungspunkt. (Beachte auch, dass das hier OffTopic ist.)

    Von den beiden Dingen, die gegeben sind ist mir klar, was mit 1. gemeint ist. Die beiden Geraden sind ja vorgegeben. Aber dass ich am Berührungspunkt 90° nach links bzw. rechts kann um auf den Kreismittelpunkt zu kommen, bringt mich ja nicht weiter. Denn die Position des Kreismittelpunktes (bzw. den Abstand zum Schnittpunkt der Geraden) kenne ich ja auch nicht.
    "Luckily luh... luckily it wasn't poi-"
    -- Brady in Wonderland, 23. Februar 2015, 1:56
    Desktop Pinner | ApplicationSettings | OnUtils

    Ja eben, du hast zwei Variablen (Kreismittelpunkt und s), aber auch zwei Gleichungen. Die Berührpunkte lassen sich wie gesagt auch durch s drastellen, sodass das kein Problem darstellen sollte.
    Naja, wie dem auch sein, umgestellt und gekürzt sollte da einfach sowas wie bei cl10k rauskommen, also kannst du dir den Aufwand auch sparen. :D

    @cl10k:
    Arrgh, da hätte man aber auch drauf kommen können. Ich hab das rechtwinklige Dreieck einfach nicht erkannt.
    Vielen vielen Dank dafür.

    Passt wie die Faust auf's Auge:

    Die hellblaue Kurve "Tan" (von Dir) passt genau auf die rote "Gemessen".

    @Artentus:
    Mit Gleichungen hab ich's generell nicht so.
    Also ich werde mir definitiv den Aufwand sparen ^^
    "Luckily luh... luckily it wasn't poi-"
    -- Brady in Wonderland, 23. Februar 2015, 1:56
    Desktop Pinner | ApplicationSettings | OnUtils